3 Diferenciación Total
Si se varían todas las \(x\) en una cantidad pequeña, el efecto total en \(y\) será la suma de todos los efectos, tal y como se ha demostrado antes. Por tanto, la variación total de \(y\) se define como
\[ \begin{eqnarray} dy &=& \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + . . . + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n\\[0.2cm] &=& f_1dx_1 + f_2dx_2 + . . . + f_ndx_n \end{eqnarray} \]
Esta expresión se denomina diferenciación total de \(f\) y es directamente análoga a la expresión del caso de una sola variable. La intuición indica que la ecuación es razonable: la variación total de \(y\) es la suma de las variaciones provocadas por la variación de cada una de las \(x\).
3.1 Condición de primer orden para un máximo
Una condición necesaria para un máximo (o un mínimo) de una función \(f(x_1,x_2, . . . , x_n)\) es que \(dy = 0\) para una combinación de pequeñas variaciones de las \(x\). Esto sólo puede ocurrir si, en el punto considerado
\[ f_1 = f_2 = . . . = f_n = 0 \]
El punto en el que es válida la ecuación anterior se llama punto crítico. Esta ecuación es la condición necesaria para obtener un máximo local.
3.2 Calculo del máximo
Suponga que \(y\) es una función de \(x_1\) y \(x_2\) determinada por
\[ y = -(x_1 - 1)^2 - (x_2 - 2)^2 + 10 \]
o
\[ y = -x_1^2 + 2x_1 - x_2^2 + 4x_2 + 5 \]
Por ejemplo, \(y\) podría representar la salud de un individuo (medida en una escala del 0 al 10 ) y \(x_1\) y \(x_2\) serían las dosis diarias de dos medicamentos para mejorar su salud. Se quiere calcular los valores de \(x_1\) y \(x_2\) que hacen que \(y\) tenga el mayor valor posible. Partiendo de las derivadas parciales de \(y\) respecto a \(x_1\) y \(x_2\) y aplicando las condiciones necesarias dadas, se obtiene:
\[ \begin{eqnarray} \frac{\partial y}{\partial x_1} &=& -2x_1 + 2 = 0\\[0.2cm] \frac{\partial y}{\partial x_2} &=& -2x_2 + 4 = 0 \end{eqnarray} \]
y resolviendo, obtenemos
\[ x_1^* = 1,\hspace{1cm}x_2^* = 2 \]
Por tanto, la función está en el punto crítico cuando \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). En este punto, \(y = 10\) es el mejor estado de salud posible.